1m x 1m Millimeterpapier

MatMax · 07.02.2002

Man stelle sich ein Blatt Millimeter-Papier mit den Abmaßen 1x1 Meter vor. Es sind also 1000x1000 Kästchen aufgedruckt.

Aber wieviele verschiedene Rechtecke (schließt Quadrate mit ein) sind das insgesamt?

Viel Spaß beim Zählen.

dman · 07.02.2002

Systematik suchen:

Nehmen wir mal die Kantenlänge von 4, dann sehen wir die Systematik:

Ich mache eine Tabelle mit den Zahlen von 1-4 auf beiden Achsen, in den Feldern trage ich die anzahl der Rechtecke ein, die es in dieser Größe gibt. Also z.B. gibt es 3 Rechtecke mit der Größe 4X2 (bitte nicht drehen!), denn es gibt noch 3 Rechtecke mit der Größe 2x4 (aha).

Das ergibt:

XX | 1 | 2 | 3 | 4
1 | 16 | 12 | 8 | 4
2 | 12 | 9 | 6 | 3
3 | 8 | 6 | 4 | 2
4 | 4 | 3 | 2 | 1

Macht 100 Recktecke

Da fällt mir auf:

Kantenlänge 1 = 1 Rechteck (1 hoch 2)
Kantenlänge 2 = 9 Rechtecke ((1+2) hoch 2)
Kantenlänge 3 = 36 Rechtecke ((1+2+3) hoch 2)
Kantenlänge 4 = 100 Rechtecke ((1+2+3+4) hoch 2)

Also Summe der Kantenlängenziffern zum Quadrat:

Ei, allein das war ein Vorgehen aus der Physik, wer beweist die Regel noch???

dman

PS: Für einen Physiker sind alle ungeraden Zahlen Primzahlen, Beweis: 1-ok, 3-ok, 5-ok, 7-ok, 9-Messfehler, 11-ok, 13-ok, 15-Messfehler, 17-ok, 19-ok, Schlussfolgerung, Beweis ist erbracht, alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.

fox99 · 07.02.2002

250500250000 ?

dman · 08.02.2002

Hey Fox99,

lass uns doch mal an Deinen Gedanken teilhaben, was soll es denn bringen hier einfach ein Zahl zu posten. Wie wäre es zum Beispiel die Lösung per Permutation zu bestimmen?

Man schaut, wieviel Möglichkeiten es gibt Paare mit zwei 1qmm-Kästchen zu bilden und teilt das durch vier, weil es so vier Möglichkeiten gibt ein und das gleiche Rechtecke zu bilden.

Zeig mal eine Berechnung für so etwas, würde mich interessieren, dann muss ich nicht weiter drüber nachdenken.

dman

MatMax · 08.02.2002

@dman
Du hast das Prinzip richtig erkannt.

n = (y²+y)/2 * (x²+x)/2

(Beweis ist auch nicht allzu schwer)

@fox99
Dein Taschenrechner rechnet richtig.

fox99 · 08.02.2002

Originally posted by MatMax

@fox99
Dein Taschenrechner rechnet richtig.

Da hab ich wohl noch mal glück gehabt.

Hier Teile des proggies:

Code:

var x,y: integer;
    gesamt: int64;
begin
gesamt := 0;
for x := 1 to 1000 do
        for y := 1 to 1000 do
                gesamt:= gesamt + (1001-x)*(1001-y);

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